Topic outline
1 курс Рабочая программа дисциплины "Высшая математика"
- Вопросы к зачету I семестр File 111.5KB
I семестр. Тема1. Множества
Множество и его элементы.
Два основных способа задания множеств.
Операции над множествами и их свойства.
Декартово произведение множеств. Соответствия.
Конечные множества.
Бесконечные множества
Отношения порядка и отношения эквивалентности.
- Лекция File 1.5MB
Тема 2. Последовательности. Предел последовательности
Определение последовательности.
Способы заданий последовательностей:
Свойства последовательностей.
Геометрический смысл ограниченности последовательности.
Бесконечно малые последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
Предел числовой последовательности.
Признаки существования предела последовательности.
Число е.
Бесконечно большие последовательности.
Тема 3. Функции. Предел функции
Определение функции.
Ограниченные функции.
Предел функции на бесконечности. Основные теоремы.
Асимптоты. Алгоритм отыскание асимптоты графика функции.
Предел функции в точке. Основные теоремы.
Теоремы об арифметических операциях.
Односторонние пределы.
Теорема о существовании предела.
Тема 4. Функции. Предел функции. Непрерывность.
Непрерывность
Точки разрыва. Классификация.
Техника вычисления пределов. Раскрытие неопределенностей.
Первый замечательный предел.
Следствия из первого замечательного предела.Второй замечательный пределСледствия из второго замечательного предела.
Тема 5. Производные функций.
Определение производной функции.
Дифференциал функции
Физический и геометрический смысл производной
Правила дифференцирования
Таблица производных
Производные высших порядков
Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления. Исследование функций и построение графиков
Условия монотонности функции.
Точки локального экстремума.
Необходимое условие существования экстремума.
Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)
Теорема Коши.
План отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Правила Лопиталя
Формула Тейлора и Макларена.
Полное исследование функции и построение графика.
Тема 7. Неопределенный интеграл
Первообразная, неопределенный интеграл
Свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование некоторых классов рациональных функций, интегрирование тригонометрических функций.
Тема 8. Определенный интеграл
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определение определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Существование первообразной у непрерывной функции.
Формула Ньютона –Лейбница.
Методы вычисления определенного интеграла.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Тема 9. Несобственные интегралы
Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций.
Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.
Геометрические задачи, в которых встречаются несобственные интегралы.
II семестр Тема 1-2. Комбинаторика: основные принципы, понятия,формулы. Основные понятия и определения теории вероятностей. Алгебра событий
Принцип произведения как универсальный способ подсчета числа упорядоченных соединений, образованных из элементов разных множеств и из элементов одного множества.
Упорядоченные соединения: размещения с повторениями и размещения без повторений.
Упорядоченные соединения: перестановки порядка n и перестановки n элементов, только k из которых различны.
Неупорядоченные соединения: сочетания и сочетания с повторениями.
Объект и предмет теории вероятностей.
Основные понятия теории вероятностей: опыт, исходы опыта, пространство элементарных исходов. Примеры.
Основные определения теории вероятностей: случайные события, благоприятствующие исходы, совместные и несовместные события. Примеры.
Два типа классификации событий: по возможности наступления и по составу.
Множество всех событий, связанных с опытом, имеющим n исходов.
Операции над событиями.
Алгебра событий.
Тема 3-4. Различные способы определения вероятностей. Важнейшие свойства вероятностей.Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса
Метод определения вероятностей событий, основанный на постулатах (в опытах с конечным числом исходов). Важнейшие свойства вероятностей. Классический метод определения вероятностей (в опытах с конечным числом равновозможных исходов). Геометрический метод определения вероятностей (в опытах с множеством мощности континуума равновозможных исходов). Статистический метод определения вероятностей.
Зависимые и независимые события: их определение, взаимность независимых и взаимность зависимых событий. Символические записи условной вероятности, независимости и зависимости двух событий. Определение условной вероятности события и следствия из него. Полная вероятность события, могущего наступить на последнем этапе опыта, состоящего из двух (или более) различных «зависимых» испытаний. Формула Байеса для определения условных, а именно, послеопытных, вероятностей событий, могущих наступить на предыдущих этапах таких опытов.
Тема 5. Схема Бернулли. Решение двух основных задач в схеме Бернулли в соответствие с классификацией условий опыта
Биномиальная схема Бернулли: n одинаковых «независимых» испытаний, с двумя альтернативными результатами каждое. Применение формулы Бернулли для решения двух основных задач в биномиальной схеме Бернулли. Применение формулы Пуассона для решения двух основных задач в схеме Бернулли. Применение формул Муавра-Лапласа для решения двух основных задач в схеме Бернулли. Наиболее вероятное число «успехов» - появлений ожидаемого события A, вероятность которого постоянна и равна p в каждом из nиспытаний опыта. Полиномиальная схема Бернулли: n однотипных независимых испытаний с k альтернативными результатами каждое.
Тема 6. Случайная величина: генезис, определение, классификация. Способы задания СВДТ. Основные законы распределения.
Случайная величина как функция, ее область определения и область значений. Примеры. Классификация случайных величин по типу структуры множества их возможных значений. Способы задания СВДТ.
Биномиальное распределение.
Геометрическое распределение вероятностей СВДТ: условия возникновения случайной величины, подчиненной геометрическому закону и геометрическому закону, сдвинутому на единицу, таблица соответствия возможных значений и их вероятностей, параметры этих законов, специфические формулы основных числовых характеристик.
Гипергеометрическое распределение вероятностей СВДТ: условия возникновения случайной величины, подчиненной гипергеометрическому закону, таблица соответствия возможных значений и их вероятностей, параметры закона, специфические формулы основных числовых характеристик случайной величины.
Закон Пуассона распределения вероятностей СВДТ: условия возникновения случайной величины, подчиненной закону Пуассона, таблица соответствия возможных значений и их вероятностей, параметры закона, специфические формулы основных числовых характеристик случайной величины.
Тема 7. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Арифметические операции над дискретными случайными величинами. Математическое ожидание СВДТ: определение и свойства. Дисперсия СВДТ: определение и свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Тема 8. Случайные величины непрерывного типа: способы задания СВНТ, вероятность попадания в произвольный интервал значений, числовые характеристики СВНТ
Специфика структуры множества возможных значений и, как следствие, способы задания СВНТ. Функция плотности распределения вероятностей f(x) как способ задания СВНТ и определение с её помощью вероятности попадания СВНТ в произвольный интервал. Свойства функции плотности f(x). Функция распределения вероятностей F(x): ее определение и свойства. Математическое ожидание СВНТ. Дисперсия СВНТ. Диаграмма основных задач теории СВНТ как план изучения законов распределения непрерывных случайных величин.
Тема 9. Основные законы распределения СВНТ: равномерный, показательный, нормальный
Равномерное распределение вероятностей СВНТ: функция плотности, функция распределения, вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал, основные числовые характеристики. Показательное распределение вероятностей СВНТ: функция плотности, функция распределения, вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал, основные числовые характеристики. Нормальное распределение вероятностей СВНТ: функция плотности, функция распределения, основные числовые характеристики, вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал. Правило «три сигма» для нормального распределения вероятностей случайных величин.
Тема 10. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Маркова. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Теорема Муавра-Лапласа. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.