§1 Теория и методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение

1. Кинематика равномерного прямолинейного движения

Содержание

  1. §1.1. Теоретический материал

  2. §1.2. Методика решения задач

  3. §1.3. Примеры решения задач

§1.1. Теоретический материал

  • Механическое движение. Относительность механического движения. Материальная точка. Система отсчета.

  • Траектория. Вектор перемещения и его проекции. Путь.

  • Скорость. Сложение скоростей.

  • Прямолинейное равномерное движение.

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково, называется поступательным.

Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называется материальной точкой.

Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для отсчета времени образуют систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тел.

Перемещением тела называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Траекторией называется линия движения тела.

Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело за любыеравные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называется величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к величине этого промежутка \vec V=\frac{\vec s}{t}.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета \vec V_{stat} равна геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета \vec V_{dyn} и скорости подвижной системы относительно неподвижной \vec u: \vec V_{stat} = \vec V_{dyn}+ \vec u .

§1.2. Методика решения задач

При решении кинематических задач необходимо, как правило, придерживаться следующего порядка действий:

  • Выбрать систему отсчета.
  • Определить характер движения каждого из тел и сформулировать начальные условия: начальные значения координат и скоростей, известные из условий задачи.

  • Для каждого из тел записать зависимости их скоростей и координат от времени: Vx = Vx (t), Vy = Vy (t) ; X = X(t), Y = Y(t).
  • Проверить соответствие полученных уравнений начальным условиям.
  • Записать дополнительные условия: уравнения кинематических связей (соотношения, связывающие кинематические характеристики, например скорости, различных тел), геометрические соотношения, другие специальные условия системы.
  • Решить систему уравнений, получить ответ и проверить его размерность.

§1.3. Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1.1

Катер совершает рейс по реке из пункта А в пункт В и обратно. Найти время движения, если скорость катера в стоячей воде V, скорость течения u, расстояние АВ равно L. Сравнить со временем движения в стоячей воде.

Решение
При движении по течению скорость катера относительно Земли равна V1=V+ u, при движении против течения его скорость равна V2=V-u. Тогда время движения из пункта А в пункт В и обратно по реке t` = \frac{L}{V+u}+\frac{L}{V-u}=\frac{2VL}{V^2-u^2} .

В стоячей воде t`` = \frac{2L}{V} . Разность t`-t`` = \frac{2VL}{V^2-u^2}-\frac{2L}{V}=\frac{2Lu^2}{V(V^2-u^2)}>0 .

Т.к. V > u (иначе катер не сможет подняться вверх по реке), t`>t``.

ЗАДАЧА 1.2

Шарик, летящий прямолинейно со скоростью V, налетает на стенку, которая движется навстречу шарику со скоростью u. Происходит абсолютно упругий удар. Определить скорость шарика после удара.

Решение
В системе координат, связанной со стенкой скорость шарика до удара \vec V `=\vec V-\vec u, а скорость стенки равна нулю. После удара о неподвижную стенку скорость шарика меняет свое направление на противоположное и становится равной \vec V``=-\vec V`=-\vec V+\vec u .

Вернемся в систему координат, связанную с Землей: скорость шарика после удара относительно Земли равна: \vec V```=-\vec V``+\vec u=-\vec V+2\vec u .

ЗАДАЧА 1.3

Человек переплывает реку ширины Н. Под каким углом к берегу он должен плыть, чтобы переправиться в кратчайшее время? Какой путь он при этом преодолеет, если скорость течения u, а скорость пловца относительно воды V ?

Решение
Скорость пловца относительно Земли \vec W=\vec V+\vec u Время движения t=\frac{AB}{W}=\frac{H}{W \cos \beta}=\frac{H}{V \cos \alpha} , откуда видно, что время движения минимально при \alpha =0^{\circ}, t_{min}=\frac{H}{V}.

При этом путь S=Wt=\frac{HW}{V}=\frac{H}{V}\sqrt{V^2+u^2} .

ЗАДАЧА 1.4

По шоссе со скоростью V1 едет автобус. В поле на расстоянии H от шоссе и на расстоянии L от автобуса находится человек. В каком направлении он должен двигаться, чтобы попасть на автобус, если скорость человека V2?

Решение
Пусть встреча произойдет в точке C, тогда AC = V1t0, BC = V2 t0, где t0 - время движения до встречи. Далее по теореме синусов для треугольника АВС :\frac{AC}{\sin \alpha}=\frac{BC}{\sin \beta} , откуда \sin \alpha=\frac{AC}{BC}\sin \beta=\frac{V_1}{V_2}\sin \beta. Кроме того, из треугольника ADB:\sin \beta=\frac{H}{L}\sin \beta, в результате окончательно получаем выражение для угла упреждения \alpha: \sin \alpha=\frac{V_1}{V_2}\frac{H}{L}.

ЗАДАЧА 1.5

По взаимно перпендикулярным дорогам движутся два автомобиля с постоянными скоростями V1 и V2. В момент времени, когда расстояние между ними минимально, первый автомобиль находится на расстоянии S1 от перекрестка. На каком расстоянии от перекрестка находится в этот момент второй автомобиль?

Решение

Зависимости координат первого x и второго y автомобилей от времени имеют вид:

x=V_1t; \ \ \ y=V_2(t-\tau), а расстояние между ними по теореме Пифагора равно L= \sqrt{V_1^2t^2+V_2^2(t-\tau)^2} .

Из условия минимума расстояния между автомобилями \frac{dL}{dt}=0, найдем время t0, соответствующее минимуму L: t_0=\frac{V_2^2\tau}{V_1^2+V_2^2}. По условию задачи S1 = V1t0. Исходя из этого соотношения, найдем \tau: \tau=-\frac{S_1(V_1^2+V_2^2)}{V_1V_2^2}. Зная t0 и \tauнайдем расстояние S2: S_2=V_2(t_0-\tau)=\frac{V_1}{V_2}S_1.

Эту же задачу можно решить геометрически. Для этого изобразим автомобили в момент времени, когда расстояние между ними минимально. При этом первый автомобиль находится в точке F, второй в точке G, AB и CD - две дороги, точка O - перекресток. Рассмотрим ситуацию в системе отсчета, связанной с первым автомобилем. В ней первый автомобиль покоится, а второй движется относительно него со скоростью \vec W=\vec V_2-\vec V_1 направленной вдоль прямой KL.Тогда минимальному расстоянию между автомобилями отвечает перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую LK. Следовательно, FG  LK и AOG подобен GDL, образованному векторами \vec W, \ \ \vec V_2, \ \ -\vec V_1. Поскольку FO = S1, а OG= S2 , из подобия треугольников \frac{V_1}{V_2}=\frac{S_2}{S_1} и S_2=\frac{V_1}{V_2}S_1.

 

Последнее изменение: Вторник, 13 Июнь 2017, 11:39