Курс математического анализа (первый семестр)

Курс математического анализа (первый семестр)

Приветственное слово автора профессора Станислава Валерьевича Шапошникова:

Авторы и преподаватели курса:

Шапошников Станислав Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Курс проводится на площадке OpenEdu.ru, а итоговая аттестация - на площадке distant.msu.ru
Для записи на курс нажмите на кнопку:

 

Расписание занятий:

Осенний семестр 2017:

Регистрация на курc: c 7 августа по  10 октября.

Занятия проводятся: с 20 сентября по 30 декабря.

Занятия проводятся дистанционно.

Описание курса:

Курс математического анализа занимает центральное место среди математических дисциплин и по праву считается квинтэссенцией современного математического знания. Слушатель этого курса знакомится практически со всеми идеями современной математики в их простейшей и самой наглядной форме, оттачивает мастерство логических рассуждений и разбирается с глубокими и многоуровневыми математическими построениями. Математический анализ является результатом творчества таких выдающихся ученых как И.Ньютон, Г.Лейбниц, Я.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, П.Ферма, О.Л.Коши, К.Вейерштрасс, А.Л.Лебег и многих других. С каждым из этих имен связаны не только математические результаты, но и значительные общекультурные достижения. 


Представляемый курс ориентирован, прежде всего, на студентов первых курсов математических и естественнонаучных факультетов, но, несомненно, будет интересен широкому кругу профессионалов и любителей математики. Помимо стандартных тем, составляющих содержание курса математического анализа в первом семестре первого курса, мы затронем также ряд красивых и глубоких результатов, являющихся настоящими жемчужинами современной математики. 


В начале курса мы познакомимся с элементами теории множеств, обсудим известные математические парадоксы, научимся применять математическую индукцию и узнаем одну из самых трудных аксиом современной математики – аксиому выбора. Далее мы введем понятие функции и отдельно остановимся на специальном классе функций – биекциях, научимся сравнивать бесконечные множества и докажем знаменитую теорему Кантора—Бернштейна. Основным множеством, с которым мы будем иметь дело в нашем курсе, является множество вещественных чисел, различные определения и свойства которого будут подробно обсуждаться. Затем изучим сходимость числовых последовательностей и числовых рядов, определим знаменитое число «е». 


Важную часть курса составляют элементы топологии числовой прямой. Здесь будут обсуждаться свойства и структура открытых и замкнутых множеств, в простейшем виде мы познакомимся с мощнейшим средством математического анализа – теоремой Бэра. Предел функции и непрерывность функции являются центральными разделами нашего курса математического анализа. Наряду со стандартными утверждениями о непрерывных функциях, мы особое внимание уделим описанию свойств множества точек разрыва функции. 
Далее будут рассмотрены функциональные последовательности и ряды: мы сравним поточечную и равномерную сходимость, покажем, что равномерная сходимость сохраняет непрерывность, докажем известную теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленом. 


Заключительный раздел курса посвящен дифференциальному исчислению. Мы познакомимся с классическим примером Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции, выясним, насколько «плоха» может быть производная всюду дифференцируемой функции, докажем классический набор теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, обоснуем правило Лопиталя и научимся раскладывать функции по формуле Тейлора, наконец, рассмотрим важный класс выпуклых функций.
В курсе также будут представлены исторические справки о знаменитых ученых, с идеями и результатами которых мы будем знакомиться.

Программа курса:

Лекция 1. Элементы теории множеств. Парадокс Рассела. Множество натуральных чисел и метод математической индукции. Неравенство Бернулли и бином Ньютона. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отношение эквивалентности и отношение порядка. Аксиома выбора.

Лекция 2. Функция. Определение функции на языке теории множеств. Инъекции, сюръекции и биекции. Группа биекций. Равномощные множества. Конечные и бесконечные множества. Счетные множества и их свойства. Пример Кантора несчетного множества. Теорема Кантора о множестве всех подмножеств и теорема Кантора—Бернштейна.

Лекция 3. Вещественные числа. Упорядоченное поле. Аксиома полноты. Существование корня из двух. Бесконечные десятичные дроби – модель поля вещественных чисел. Точные грани и принцип полноты Вейерштрасса. Аксиома Архимеда, принцип полноты Кантора о вложенных отрезках. Несчетность отрезка и континуальные множества.

Лекция 4. Предел числовой последовательности. Арифметика пределов. Переход к пределу в неравенствах и теорема о зажатой последовательности. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонных последовательностей и определение числа Эйлера. Понятие подпоследовательности и теорема Больцано. Частичные пределы. Верхний и нижний предел. Критерий Коши. Сходимость числового ряда. Признак сравнения. Признак Коши. Ряд Лейбница и абсолютная и условная сходимость ряда. 

Лекция 5. Топология вещественной прямой. Свойства открытых и замкнутых множеств. Структура открытых множеств. Предельные и граничные точки. Теорема Бэра. Компактные множества. Лемма Гейне—Бореля—Лебега. 

Лекция 6. Предел функции. Эквивалентность определений Коши и Гейне. Арифметика пределов. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о зажатой функции. Теорема о композиции. Замечательные пределы. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у монотонной функции. Критерий Коши. Предел по базе и его связь с пределом последовательности и пределом функции.

Лекция 7. Непрерывные функции. Локальные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Колебание функции в точке и структура множества точек разрыва. Глобальные свойства непрерывных функций: теорема о промежуточном значении, теоремы Вейерштрасса о непрерывной на компакте функции. Теорема об обратной функции. Построение показательной и логарифмической функций. 

Лекция 8. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Обычная и равномерная непрерывность в терминах колебания функции. Понятие равномерной сходимости. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Существование точки непрерывности у поточечного предела непрерывных функций. Непрерывность равномерного предела непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной на отрезке функции многочленом. 

Лекция 9. Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции. Дифференциал. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование обратной функции. Таблица производных элементарных функций.

Лекция 10. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их физическая и геометрическая интерпретации. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. 

Лекция 11. Общий вид остаточного члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши при разложении в ряд экспоненты и логарифма. Разложения элементарных функций. Ряд Тейлора и его сходимость. Пример Коши. 

Лекция 12. Выпуклые функции. Непрерывность выпуклых функций. Достаточные условия выпуклости в терминах первых и вторых производных. Неравенство Йенсена.

Формат:

Форма обучения заочная (дистанционная). Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Нельзя изучать математику лишь наблюдая и слушая; только самостоятельно решая задачи, продумывая доказательства и конструируя примеры можно освоить предлагаемый курс. С этой целью слушателям будут предлагаться разнообразные вычислительные и теоретические задачи.

Требования:

Курс рассчитан на студентов первого курса, обучающихся по программам специалитета или бакалавриата. Достаточно знаний в объеме стандартной программы по математике средней школы, дополнительной подготовки не требуется. Ключевое требование – интерес и готовность к активному и творческому освоению одного из красивейших разделов математики.Результаты обучения

Успешное освоение настоящего курса позволит слушателю овладеть и глубоко разобраться с ключевыми понятиями математического анализа: множество, вещественные число, предел последовательности, предел функции, производная. Вникая в доказательства и решая задачи, слушатель получит знания, навыки и опыт для исследования и описания свойств вещественных функций одного вещественного аргумента, что является неотъемлемой частью инструментария любого современного ученого. 

Направления подготовки:

01.00.00 МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА 
01.03.01 Математика

Длительность курса 15 недель
Понадобится 6 часов в неделю

Необходимый уровень подготовки:

Данный курс будет интересен специалистам в данной области, которые смогут почерпнуть новые знания и повысить свою профессиональную подготовку, так же курс будет понятен и интересен неподготовленному слушателю. 

Курс является общеобразовательным, не требует специальной подготовки и рассчитан на широкую аудиторию слушателей.

Дополнительная информация:

Для получения сертификата об успешном прохождении курса  необходимо успешно пройти курс выполнив предложенные для поверки знаний задания и тесты, а по окончании пройти дистанционно итоговую аттестацию.

Дополнительная информация:

Сертификация:

Для получения сертификата необходимо успешно пройти курс, выполнив предложенные для проверки знаний задания и тесты, а по окончании пройти дистанционно итоговую аттестацию. Стоимость аттестации 1800 рублей. При успешном окончании слушатель получает электронный сертификат (при запросе бумажный).

Контактная информация:

Почтовый адрес: 

119991, Москва, Ломоносовский пр. д.27 к. 1, комната Г-729

Телефон, факс, e-mail, web-сайт:

Тел.: +7(495)938-21-39

E-mail: info@distant.msu.ru; URL: http://distant.msu.ru/

Última modificación: Wednesday, 4 de October de 2017, 14:27