Попеленский М.Ю.

Управляемые динамические системы (УДС), как правило, описываются при помощи систем нелинейных дифференциальных уравнений вида
$\dot{y}=f(y, u, t),$
где $y$ --- вектор состояния размерности $n$, $u$ -- вектор управления размерности $r$, $t$ --- время, $f$ --- вектор-функция, принадлежащая определенному классу. В дальнейшем, если не оговорено иного, функцию $f$ будем считать дифференцируемой функцией своих аргументов.  Если правые части системы явным образом не зависят от времени, она называется автономной, в противном случае --- НЕ автономной. В случае, когда управление выбрано, как функция времени и (или) фазовых координат, анализ движения УДС может производиться методами анализа систем дифференциальных уравнений.

Предположим, что исходя из некоторых соображений, например, простоты реализации или минимизации какой-то целевой функции, выбрано управление  $u^*$, которое в дальнейшем будем называть желаемым, или программным управлением, а соответствующее ему движение УДС --- желаемым, или программным, движением. В этом случае естественна постановка задачи анализа устойчивости желаемого движения. На первом этапе эта задача традиционно сводится к анализу устойчивости тривиального решения уравнения в отклонениях.

Рассмотрим разность между желаемым движением и реальным, сохранив индекс $^*$ для переменных, отвечающих желаемому движению: $x(t)=y(t)-y^*(t)$, где через $x(t)$ обозначено отклонение от желаемого движения. Отклонение управлений от желаемых обозначим через  $w(t), w(t)=u(t)-u^*(t)$. Запишем дифференциальное уравнение в отклонениях:
$\dot{x}(t)=\dot{y}(t) - \dot{y^*}(t)=f(y^*, u^*, t).$
Полагая отклонения управлений и фазовых траекторий малыми, разложим правую часть уравнения в ряд Тейлора, и, удерживая члена первого порядка малости, получим уравнение в отклонениях в виде
$\dot{x}=A(t)x+B(t)w,$
где $A(t)$ и $B(t)$ матрицы размерности $n\times n$ и $n\times r$ соответственно. В большинстве задач данного сборника матрицы полагаются независимыми от времени.

В приложениях часто рассматривается задача линейного синтеза, или построения управления $w$ в виде линейной обратной связи по отклонению $x$: $w=Kx$, где $K$ --- матрица, элементы которой подлежат выбору с целью обеспечения устойчивости тривиального решения уравнения в отклонениях.

Важным частным случаем программного движения является стационарное программное движение, при котором производные от фазовых координат, не являющихся циклическими,  равны нулю, а от циклических --- константам.

Напомним определения устойчивости.

Определение 1. Тривиальное решение системы $\dot{x}=f(x), f(0)=0, x(t_0)\neq 0$ называется устойчивым по Ляпунову, если $\forall \varepsilon>0$ $\exists \delta (\varepsilon)>0$ такое, что из выполнения условия $|x(t_0)|\leq\delta \Rightarrow |x(t)|$ $\forall t>t_0$.

Определение 2. Тривиальное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует открытая окрестность нуля $X^0$ такая, что $\lim \limits _{t\rightarrow \infty}x(t)=0 \forall x(t_0)\in X^0.$

Множество $X^0$ начальных условий, для которых выполнено условие асимптотической устойчивости, называют областью притяжения тривиального решения. Если это множество совпадает с пространством состояний, то решение $x(t) \equiv 0$ называют асимптотически устойчивым в целом, или глобально асимптотически устойчивым.

Для систем уравнений в отклонениях вида $\dot{x}=Ax$, справедливо следующее утверждение:

Теорема. Тривиальное решение системы асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные числа $\lambda_i$  матрицы $A$ имеют отрицательные действительные части.


Действительные части всех корней уравнения
$a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1}+ \ldots + a_{n-1}\lambda + a_n=0$
с действительными коэффициентами будут отрицательны, если выполнен критерий Рауса -- Гурвица.